បញ្ហា៖ កម្រិតតុ
Martingale $10 នៅតុ $500។ តើវាបរាជ័យញឹកញាប់ប៉ុន្មាន, ពេលវាបរាជ័យវាខាតប៉ុន្មាន ហើយការដំឡើងកម្រិតជួយឬ?
ការចាញ់ប្រាំមួយជាប់គ្នាធ្វើឱ្យវាបរាជ័យ៖ 1.8% ក្នុងមួយវដ្ត ប្រហែល 60% នៃវគ្គលេង 100 ការបង្វិល។ ការបរាជ័យចំណាយ $630។ ការដំឡើងកម្រិតទៅ $5,000 ធ្វើឱ្យការបរាជ័យកម្រជាង (0.25% ក្នុងមួយវដ្ត) និងធំជាង ($5,110)។ ការខាតបង់រំពឹងទុកក្នុងមួយដុល្លារដែលភ្នាល់គឺ 2.70% នៅគ្រប់កម្រិត។
បញ្ហា
អ្នកលេងភ្នាល់ $10 លើ ក្រហមការភ្នាល់ក្រហមការភ្នាល់សងស្មើលើលេខក្រហម 18 លេខ។ បារាំង៖ rouge។អានពេញលេញ → ហើយបង្កើនទ្វេដងបន្ទាប់ពីការចាញ់នីមួយៗ ដោយកំណត់ឡើងវិញបន្ទាប់ពីឈ្នះ។ អតិបរមារបស់តុគឺ $500។ (a) តើការចាញ់ជាប់គ្នាប៉ុន្មានធ្វើឱ្យ ប្រព័ន្ធបង្កើនភ្នាល់យុទ្ធសាស្ត្រប្រព័ន្ធបង្កើនភ្នាល់ច្បាប់ណាមួយដែលប្ដូរចំនួនភ្នាល់តាមលទ្ធផលមុន។ ប្រព័ន្ធអវិជ្ជមានបង្កើនវាបន្ទាប់ពីចាញ់ ប្រព័ន្ធវិជ្ជមានបន្ទាប់ពីឈ្នះ។អានពេញលេញ → បរាជ័យ? (b) តើ ប្រូបាប៊ីលីតេគណិតវិទ្យាប្រូបាប៊ីលីតេឱកាសនៃលទ្ធផល ពី 0 ដល់ 1 ឬ 0% ដល់ 100%។ លេខមួយ៖ 1/37 = 2.70%។អានពេញលេញ → ក្នុងមួយវដ្តជាអ្វី? (c) តើខាតអ្វីពេលបរាជ័យ? (d) តើកម្រិត $5,000 ផ្លាស់ប្តូរចម្លើយយ៉ាងដូចម្តេច? (e) តើកម្រិតណាមួយធ្វើឱ្យប្រព័ន្ធចំណេញឬ?
ដំណោះស្រាយ (a)–(c)
ចំនួនទឹកប្រាក់ភ្នាល់៖ 10, 20, 40, 80, 160, 320។ លើកទីប្រាំពីរនឹងជា 640 > 500 ដូច្នេះការចាញ់ប្រាំមួយធ្វើឱ្យវាបរាជ័យ។ (b) p(ចាញ់) = 19/37 លើក្រហម; (19/37)⁶ = 0.0183 ប្រហែល 1.8% ក្នុងមួយវដ្ត។ វដ្តមួយមានរយៈពេលប្រហែលពីរការបង្វិលជាមធ្យម ដូច្នេះវគ្គលេង 100 ការបង្វិលមានប្រហែល 50 វដ្ត ហើយ p(យ៉ាងហោចណាស់បរាជ័យមួយ) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%។ (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630 ដែលជា ឯកតាប្រាក់ឯកតាចំនួនភ្នាល់មូលដ្ឋានដែលប្រព័ន្ធ ឬអ្នកលេងប្រើ។ ប្រព័ន្ធបង្កើនភ្នាល់ត្រូវបានពិពណ៌នាជាឯកតា ដើម្បីអនុវត្តបាននៅតុណាមួយ។អានពេញលេញ →មូលដ្ឋាន 63 ទល់នឹង $10 ដែលវដ្តព្យាយាមឈ្នះ។
ដំណោះស្រាយ (d)
នៅ $5,000៖ អនុញ្ញាតចំនួនទឹកប្រាក់ភ្នាល់រហូតដល់ 2,560; ចំនួនភ្នាល់ទីដប់ 5,120 ត្រូវបានបដិសេធ។ ការចាញ់ប្រាំបួនធ្វើឱ្យវាបរាជ័យ៖ (19/37)⁹ ≈ 0.25% ក្នុងមួយវដ្ត ប្រហែល 11% នៃវគ្គលេង 100 ការបង្វិល។ ខាតពេលបរាជ័យ៖ 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110។ អ្នកលេងបានទិញមហន្តរាយដែលកម្រជាង ក្នុងតម្លៃនៃមហន្តរាយដែលធំជាង។ លើវគ្គលេងជាច្រើន ថ្លៃរំពឹងទុកនៃការបរាជ័យគឺ p × ការខាតបង់ ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 ក្នុងមួយវដ្តនៅកម្រិត $500 និង 0.0025 × 5,110 = $12.8 នៅ $5,000; ក្នុងកម្រិតបង្គត់ វាជាលេខដដែល ហើយវាជា ការខាតបង់រំពឹងទុកគណិតវិទ្យាការខាតបង់រំពឹងទុកតម្លៃរំពឹងទុកគុណនឹងចំនួនប្រាក់ភ្នាល់សរុប; ជាចំនួនប្រាក់ខាតមធ្យមក្នុងវគ្គលេង ឬរយៈពេលមួយ។អានពេញលេញ → នៃវដ្ត ដក $10 ដែលវដ្តឈ្នះរកបាន។
ដំណោះស្រាយ (e)
ទេ។ ការខាតបង់រំពឹងទុកក្នុងមួយវដ្ត = (ចំនួនទឹកប្រាក់ភ្នាល់សរុបដែលរំពឹងទុកក្នុងវដ្ត) / 37 នៅគ្រប់កម្រិត ព្រោះការភ្នាល់នីមួយៗគឺ −1/37 នៃខ្លួនវា។ កម្រិតគ្រាន់តែសម្រេចថាតើការខាតបង់ត្រូវចែកចាយរវាងការឈ្នះតូចៗជាច្រើន និងការខាតបង់ធំៗតិចយ៉ាងដូចម្តេច។ បើគ្មានកម្រិត និងមាន ទុនលេងប្រាក់ទុនលេងចំនួនប្រាក់សរុបដែលបម្រុងសម្រាប់លេង។ ការគ្រប់គ្រងទុនលេង គឺកំណត់ថាត្រូវប្រថុយប៉ុន្មានក្នុងមួយការភ្នាល់ និងក្នុងមួយវគ្គលេង។អានពេញលេញ →គ្មានកំណត់ ប្រព័ន្ធបង្កើនភ្នាល់នឹង “ដំណើរការ” ក្នុងន័យថាវាមិនបរាជ័យឡើយ ហើយវាក៏នឹងភ្នាល់ចំនួនគ្មានកំណត់ជាមួយការខាតបង់រំពឹងទុក 2.70% នៃចំនួនគ្មានកំណត់នោះ។ កម្រិតតារាងតារាងកម្រិតតុការភ្នាល់អប្បបរមា និងអតិបរមាដែលអនុញ្ញាត។ អតិបរមាគឺជាអ្វីដែលបញ្ឈប់ប្រព័ន្ធគុណជាពីរ។អានពេញលេញ → មិនមែនជាអ្វីដែលបញ្ឈប់ Martingaleយុទ្ធសាស្ត្រMartingaleប្រព័ន្ធបង្កើនភ្នាល់ដែលគុណការភ្នាល់ជាពីរបន្ទាប់ពីចាញ់រាល់ដង។ មើលផ្នែកយុទ្ធសាស្ត្រ សម្រាប់អ្វីដែលវាធ្វើ និងមិនធ្វើ។អានពេញលេញ → មិនឱ្យដំណើរការទេ។ លេខនព្វន្តទេ។
តុពិតពីរ
ឧទាហរណ៍របស់ Thorp គឺតុ $1 ដែលមានអតិបរមា $1,000 ដែលអ្នកលេងសង្ឃឹមថាឈ្នះ $30 សម្រាប់អាហារពេលល្ងាច ម្តងមួយដុល្លារ។ ចំនួនទឹកប្រាក់ភ្នាល់ 1, 2, 4 … 512 អនុញ្ញាតការភ្នាល់ដប់ ដូច្នេះការចាញ់ដប់ជាប់គ្នាធ្វើឱ្យប្រព័ន្ធបង្កើនភ្នាល់បរាជ័យ៖ ម្តងក្នុង 785 វដ្តលើកង់អឺរ៉ុប (ម្តងក្នុង 613 លើកង់អាមេរិក) ដោយចំណាយ $1,023។ វដ្តសាមសិបសុទ្ធតែជោគជ័យ 96.2% នៃពេលវេលា។ 3.8% ផ្សេងទៀតខាតប្រហែល $1,000 ហើយលទ្ធផលមធ្យមនៃល្ងាចគឺ −$9.17 ដែលស្មើពិតប្រាកដនឹង 1/37 នៃ $339 ដែលវដ្តសាមសិបភ្នាល់ជាមធ្យម។ តុ $5 ដែលមានអតិបរមា $2,000 មិនខុសគ្នាទេ៖ ចំនួនទឹកប្រាក់ភ្នាល់រហូតដល់ $1,280 អនុញ្ញាតការភ្នាល់ប្រាំបួន ហើយការបរាជ័យមកម្តងក្នុង 403 វដ្តលើកង់អឺរ៉ុប (ម្តងក្នុង 323 លើកង់អាមេរិក) ហើយចំណាយ $2,555។
អ្នកលេងមានទុនច្រើន
ផ្តល់ ទុនលេងជ្រៅដល់ប្រព័ន្ធបង្កើនភ្នាល់ ជំនួសកម្រិតទាប៖ 1,000 ឯកតា, មូលដ្ឋានមួយឯកតា និងការបង្វិល 1,000 ដងលើក្រហម ដោយចាប់ផ្តើមម្តងទៀតនៅមួយឯកតា នៅពេលការកើនទ្វេដងបន្ទាប់លើសអ្វីដែលនៅសល់។ យើងបានក្លែងធ្វើល្ងាចបែបនេះមួយលាន។ លើកង់អឺរ៉ុប 52% បញ្ចប់ដោយនាំមុខ 21% ខាតគ្រប់យ៉ាង ហើយលទ្ធផលមធ្យមគឺ −124 ឯកតា។ សូម្បីក្នុងល្បែងគ្មាន សូន្យកង់សូន្យរន្ធលេខបៃតងតែមួយ ដែលគ្មានការភ្នាល់សងស្មើ ដប់ពីរ ឬជួរឈរណាគ្របដណ្ដប់; ជាប្រភពនៃភាពបានប្រៀបរបស់កាស៊ីណូ។ ហៅផងដែរថា សូន្យតែមួយ ឬ 0។អានពេញលេញ → ដែលការភ្នាល់រាល់ដងយុត្តិធម៌ ក៏មានតែប្រហែល 60% ប៉ុណ្ណោះដែលបញ្ចប់ដោយនាំមុខ។ ល្ងាចធម្មតាគឺជាការឈ្នះតូចមួយ; មធ្យមភាគត្រូវបានបង់ដោយល្ងាចដែលបញ្ចប់នៅសូន្យ។
មេរៀន
កាស៊ីណូកំណត់កម្រិតដើម្បីកំណត់ វ៉ារ្យង់គណិតវិទ្យាវ៉ារ្យង់រង្វាស់ថាលទ្ធផលរាលដាលទូលាយប៉ុន្មានជុំវិញតម្លៃរំពឹងទុក។ ខ្ពស់សម្រាប់ការភ្នាល់លេខតែមួយ ទាបសម្រាប់ការភ្នាល់សងស្មើ។អានពេញលេញ → របស់ខ្លួន មិនមែនដើម្បីផ្តួលប្រព័ន្ធទេ។ ការផ្តួល Martingale គឺជាផលបន្ទាប់បន្សំដែលពួកគេសប្បាយចិត្តមាន ហើយលេខនព្វន្តនឹងផ្តួលវាទោះយ៉ាងណា។ អ្នកលេងដែលគិតថាកម្រិតជាបញ្ហា បានរកឃើញច្រាំងថ្ម ហើយច្រឡំវាថាជាចំណោទ។
រូបមន្ត
សំណួរ
វាធ្វើឱ្យអ្នករស់ដល់កម្រិតខ្ពស់ជាង ដែលការបរាជ័យកម្រជាង និងធំជាង។ ការខាតបង់រំពឹងទុកក្នុងមួយដុល្លារមិនផ្លាស់ប្តូរ។
ចំនួនទឹកប្រាក់ភ្នាល់ 10, 30, 70, 150, 310៖ កម្រិត $500 ត្រូវបានដល់បន្ទាប់ពីចាញ់ប្រាំ ហើយការបរាជ័យចំណាយ $570។ 2.70% ដដែល។
ដើម្បីកុំឱ្យអ្នកលេងម្នាក់អាចភ្នាល់លើសពីអ្វីដែលទុនបម្រុងរបស់កាស៊ីណូអាចបង់បានដោយស្រួល។ ការគ្រប់គ្រងវ៉ារ្យង់។
កម្សាន្តជាមួយគណិតវិទ្យា
សាកល្បងធ្វើដោយខ្លួនឯងជាមុន។ ដំណោះស្រាយនីមួយៗត្រូវបានបិទទុក; បើកវានៅពេលអ្នករួចរាល់។
Martingaleយុទ្ធសាស្ត្រMartingaleប្រព័ន្ធបង្កើនភ្នាល់ដែលគុណការភ្នាល់ជាពីរបន្ទាប់ពីចាញ់រាល់ដង។ មើលផ្នែកយុទ្ធសាស្ត្រ សម្រាប់អ្វីដែលវាធ្វើ និងមិនធ្វើ។អានពេញលេញ → មួយចាប់ផ្ដើមនៅ $100 លើ ក្រហមការភ្នាល់ក្រហមការភ្នាល់សងស្មើលើលេខក្រហម 18 លេខ។ បារាំង៖ rouge។អានពេញលេញ → ហើយអនុញ្ញាតឱ្យខ្លួនភ្នាល់បានច្រើនបំផុត n ដងក្នុងវដ្តមួយ៖ បន្ទាប់ពីចាញ់ n ដងជាប់គ្នា វាបោះបង់ ហើយចាប់ផ្ដើមម្ដងទៀត។ សរសេរលទ្ធផលមធ្យមនៃវដ្តមួយជារូបមន្តក្នុង n ហើយគណនាវាសម្រាប់ការភ្នាល់ 5, 6 និង 7 ដងលើកង់អឺរ៉ុប។
បង្ហាញដំណោះស្រាយ
ចម្លើយ មធ្យមគឺ 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 សម្រាប់ការភ្នាល់ 5 ដង −$17.35 សម្រាប់ 6 និង −$20.52 សម្រាប់ 7។ ការអនុញ្ញាតឱ្យភ្នាល់ច្រើនជាងនេះធ្វើឱ្យវដ្តមធ្យមអាក្រក់ជាង មិនប្រសើរជាងទេ។
វដ្តមួយឈ្នះ $100 លើកលែងតែការភ្នាល់ទាំង n ចាញ់ ដែលកើតឡើងដោយឱកាស qⁿ ដែល q = 19/37។ ពេលវាចាញ់ទាំងអស់ ចំនួនភ្នាល់ 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ បូកគ្នាបាន 100 × (2ⁿ − 1)។ ដូច្នេះមធ្យមគឺ 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)។
នៅទីនេះ 2q = 38/37 ធំជាង 1 បន្តិច ដូច្នេះ (2q)ⁿ កើនជាមួយ n ហើយមធ្យមធ្លាក់៖ n = 5 ផ្ដល់ 1.1426 និង −$14.26; n = 6 ផ្ដល់ 1.1735 និង −$17.35; n = 7 ផ្ដល់ 1.2052 និង −$20.52។ ជណ្ដើរវែងជាងចាញ់មិនញឹកញាប់ ក្នុង 3.6%, 1.8% និង 0.9% នៃវដ្ត ប៉ុន្តែការខាតនីមួយៗធំជាងពីរដង ហើយប្រាក់កាន់តែច្រើនឆ្លងកាត់តុក្នុងវដ្តនីមួយៗ ដោយ 2.70% នៃការភ្នាល់រាល់ដង។
លើកង់អាមេរិក 2q = 40/38 ហើយតួលេខគឺ −$29.24, −$36.04 និង −$43.20 (Taylor, 2021)។ ក្នុងល្បែងគ្មាន សូន្យកង់សូន្យរន្ធលេខបៃតងតែមួយ ដែលគ្មានការភ្នាល់សងស្មើ ដប់ពីរ ឬជួរឈរណាគ្របដណ្ដប់; ជាប្រភពនៃភាពបានប្រៀបរបស់កាស៊ីណូ។ ហៅផងដែរថា សូន្យតែមួយ ឬ 0។អានពេញលេញ → 2q = 1 ហើយវដ្តនីមួយៗមានមធ្យមពិតប្រាកដសូន្យ ទោះជាជណ្ដើរវែងប៉ុណ្ណាក៏ដោយ។
«grand Martingale» បង្កើនចំនួនភ្នាល់ទ្វេដងបន្ទាប់ពីចាញ់ ហើយបន្ថែម ឯកតាប្រាក់ឯកតាចំនួនភ្នាល់មូលដ្ឋានដែលប្រព័ន្ធ ឬអ្នកលេងប្រើ។ ប្រព័ន្ធបង្កើនភ្នាល់ត្រូវបានពិពណ៌នាជាឯកតា ដើម្បីអនុវត្តបាននៅតុណាមួយ។អានពេញលេញ → មួយ ដូច្នេះចំនួនភ្នាល់គឺ 1, 3, 7, 15, 31 …។ តើអ្នកចំណេញប៉ុន្មានពេលឈ្នះដំបូងកើតនៅការភ្នាល់ទី 1, 2, 3 ឬទី kth? នៅឯកតា $10 និងអតិបរមា $500 តើវដ្តបាក់ញឹកញាប់ប៉ុន្មាន ហើយវដ្តមួយចំណាយជាមធ្យមប៉ុន្មាន?
បង្ហាញដំណោះស្រាយ
ចម្លើយ ឈ្នះលើការភ្នាល់ទី kth ទុកឱ្យអ្នកចំណេញ k ឯកតា៖ +1, +2, +3 ជាដើម។ នៅ $10 និង $500 វដ្តបាក់បន្ទាប់ពីចាញ់ប្រាំដង គឺ 3.57% នៃវដ្ត ហើយខាត −$570។ ជាមធ្យមវដ្តមួយចាញ់ $2.32 ក្នុងចំណោម $85.73 ដែលបានភ្នាល់៖ 2.70%។
ចំនួនភ្នាល់ទី kth គឺ 2ᵏ − 1 ឯកតា៖ 1, 3, 7, 15, 31។ ចំនួនភ្នាល់ k − 1 ដំបូងបូកគ្នាបាន 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1។ ការឈ្នះលើការភ្នាល់ទី kth បង់ 2ᵏ − 1 ដូច្នេះវដ្តបញ្ចប់ដោយ (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k ឯកតាចំណេញ៖ ឯកតាបន្ថែមមួយសម្រាប់ការចាញ់រាល់ដងមុនឈ្នះ។
នៅ $10 ក្នុងមួយឯកតា ចំនួនភ្នាល់គឺ $10, $30, $70, $150 និង $310; លើកបន្ទាប់ $630 លើសអតិបរមា $500។ ការចាញ់ប្រាំដងជាប់គ្នា (19/37)⁵ = 3.57% ចំណាយ 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570។
មធ្យម៖ ការឈ្នះនាំមក $10 × k ដោយឱកាស (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 សម្រាប់ k = 1 ដល់ 5 ហើយការបាក់យក $570 ដោយឱកាស 3.57%; រួមគ្នា −$2.32។ ប្រាក់ដែលបានភ្នាល់មានមធ្យម $85.73 ក្នុងមួយវដ្ត ហើយ 2.32/85.73 = 2.70%។ Martingale ធម្មតានៅតុដូចគ្នាបាក់បន្ទាប់ពីចាញ់ប្រាំមួយដង គឺ 1.83% នៃវដ្ត ដោយខាត −$630 ហើយចាញ់ $1.74 ក្នុងចំណោម $64.20 ដែលបានភ្នាល់៖ 2.70% ដដែល។
អ្នកលេងម្នាក់គ្រោងលេង Martingale លើក្រហម ដោយការភ្នាល់ដំបូង $1 នៅតុដែលដែនកំណត់គឺ $1,000 ដូច្នេះអាចភ្នាល់ដប់ដង៖ $1, $2, $4 ហើយបន្តរហូតដល់ $512។ តើវដ្តមួយចាញ់ទាំងដប់ញឹកញាប់ប៉ុន្មាន វាចំណាយពេលប៉ុន្មានជាមធ្យម ហើយល្ងាចមួយនៃការភ្នាល់ 200 ដងបញ្ចប់បែបនោះញឹកញាប់ប៉ុន្មាន?
បង្ហាញដំណោះស្រាយ
ចម្លើយ វដ្តមួយចាញ់ទាំងដប់ប្រហែលម្តងក្នុង 784 ដែលចំណាយ $1,023។ នោះប្រហែល 1,600 ការភ្នាល់ជាមធ្យម ហើយល្ងាចនៃការភ្នាល់ 200 ដងប៉ះជញ្ជាំងប្រហែល 11% នៃពេល។ វដ្តមួយនៅតែចាញ់ $0.31 ជាមធ្យមក្នុងចំណោម $11.31 ដែលបានភ្នាល់៖ 2.70%។
ការភ្នាល់លើក្រហមចាញ់ដោយឱកាស 19/37 រួមទាំងសូន្យ។ ដប់ដងជាប់គ្នា៖ (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128 ប្រហែល 1 ក្នុង 784។ ចំនួនភ្នាល់ 1 + 2 + 4 + … + 512 បូកគ្នាបាន $1,023។
វដ្តមួយចំណាយ 2.05 ការភ្នាល់ជាមធ្យម ដូច្នេះ 784 វដ្តចំណាយប្រហែល 1,600 ការភ្នាល់។ បើរាប់តាមការបង្វិល លំដាប់ចាញ់ដប់ដងកើតនៅកន្លែងណាមួយក្នុងការភ្នាល់ 200 ដង 11.3% នៃពេល។
រវាងគ្រោះមហន្តរាយ អ្នកលេងឈ្នះ $1 ក្នុងមួយវដ្ត៖ ប្រហែល $783 មុនពេលអាក្រក់ បន្ទាប់មក −$1,023 គឺប្រហែល −$240 ពេញចន្លោះនោះ។ ក្នុងមួយវដ្ត៖ 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31។ ប្រាក់ដែលបានភ្នាល់ក្នុងមួយវដ្ត៖ 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31។ ហើយ −0.31/11.31 = −2.70%។
ប្រៀបធៀបការភ្នាល់ដំបូង $10 នៅដែនកំណត់ $500 គឺប្រាំមួយការភ្នាល់៖ ជញ្ជាំងកើតម្តងក្នុង 55 វដ្ត ហើយល្ងាចនៃការភ្នាល់ 200 ដងជួបវា 84% នៃពេល។ ដែនកំណត់ខ្ពស់ជាងធ្វើឱ្យការបាក់កម្រជាង និងធំជាង មិនថោកជាងទេ។
ការបន្ធូរអារម្មណ៍បែបកំប្លែង
កម្រជាង និងធំជាង នៅគ្រប់កម្រិត។ ផលគុណថេរ។
ប្រភព
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, ការបោះពុម្ពទី 2។